Ermitteln, ob eine Taylor-Reihe ist konvergent oder divergent

Da die Taylor-Reihe ist eine Form der Potenzreihe ist, hat jede Taylor-Reihe auch ein Intervall von Konvergenz. Wenn dieses Intervall die gesamte Menge der reellen Zahlen ist, können Sie die Serie, um den Wert zu finden f(x) Für jeden realen Wert der x.

Wenn jedoch das Intervall der Konvergenz für eine Taylor-Reihe beschränkt ist - das heißt, wenn es für einige Werte von divergiert x - Sie können es verwenden, um den Wert von zu finden f(x) nur auf seiner Konvergenzintervall.

Zum Beispiel, hier sind die drei wichtigen Taylor-Reihe:

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Alle drei dieser Serie konvergieren für alle reellen Werte von x, so entspricht jeweils den Wert ihrer jeweiligen Funktion.

Betrachten wir nun die folgende Funktion:

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Sie müssen diese Funktion als Maclaurin Serie zum Ausdruck bringen, die diese Form annimmt:

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Die Notation f(n) Mittel # 147-the nte Ableitung von f.# 148- Deutlicher wird dies in der erweiterten Version der Maclaurin Serie:

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Um dies zu tun, gehen Sie folgendermaßen vor:

  1. Suchen Sie nach den ersten paar Derivate von

    image4.png
  2. bis Sie erkennen ein Muster:

    image5.png
  3. Ersatz 0 für x in jede dieser Derivate:

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  4. Stecken Sie diese Werte, Term für Term, in die Formel für die Maclaurin Serie:

    image7.png
  5. Wenn möglich, geben die Serie in Sigma-Notation:

    image8.png

    Um zu testen, diese Formel, können Sie es zu finden f(x) wann

    image9.png

Sie können für die Richtigkeit dieser Ausdruck testen, indem Sie ersetzen

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Wie Sie sehen können, produziert die Formel die richtige Antwort. Nun versuchen, es zu benutzen zu finden f(x) wann x = 5, unter Hinweis darauf, dass die richtige Antwort sollte sein

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Was ist passiert? Diese Reihe konvergiert nur auf dem Intervall (-1, 1), so dass die Formel erzeugt nur den Wert f(x) wann x ist in diesem Intervall. Wann x außerhalb dieses Intervalls liegt, ist die Reihe divergiert, so dass die Formel ungültig.

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