Das Finden der Integral eines Produkts von zwei Funktionen

Manchmal ist die Funktion, die Sie integrieren möchten, ist das Produkt von zwei Funktionen - zum Beispiel sin3 x und cos x. Dies wäre einfach mit der Produktregel zu unterscheiden, aber die Integration nicht über eine Produktregel. Glücklicherweise kommt der Variablensubstitution zur Rettung.

Aufgrund der beispielsweise

image0.png

folge diesen Schritten:

  1. Deklarieren Sie eine Variable wie folgt und ersetzen sie in den integrierten:

    Lassen u = sin x


    Sie können diese Variable in den Ausdruck ersetzen, die Sie integrieren möchten, wie folgt:

    image1.png

    Man beachte, daß der Ausdruck cos x dx noch bleibt und muss im Hinblick auf die zum Ausdruck gebracht werden, u.

  2. Differenzieren Sie die Funktion u = sin x.

    Dies gibt Ihnen die Differential du = Cos x dx.

  3. Ersatz du für cos x dx in dem Integral:

    image2.png
  4. Jetzt haben Sie einen Ausdruck, den Sie integrieren können:

    image3.png
  5. Ersatz sin x für u:

    image4.png

Nun überprüfen Sie diese Antwort, indem sie mit der Kettenregel Differenzierung:

image5.png

Dieses Derivat entspricht der ursprünglichen Funktion, so dass die Integration ist richtig.

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