Wie man feststellt, ob eine alternierende Reihe konvergent oder divergiert

Ein abwechselnd Serie ist eine Serie, in der die Begriffe abwechselnd positiv und negativ. Man kann sagen, dass eine alternierende Reihe konvergiert, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

  1. Seine nte Term konvergiert gegen Null.

  2. Die Begriffe sind nicht zu erhöhen - mit anderen Worten, jeder Begriff ist entweder kleiner als oder gleich wie sein Vorgänger (ohne Berücksichtigung der Minuszeichen).

Mit diesem einfachen Test können Sie leicht viele alternierende Reihe zeigen konvergent zu sein. Die Begriffe müssen nur auf Null konvergieren und werden immer kleiner (sie bleiben selten die gleiche). Die alternierende harmonische Reihe konvergiert durch diesen Test:

image0.png

Wie gehen Sie wie folgt zwei Serien:

image1.png

Die Leibniz-Kriterium kann nur sagen, dass eine alternierende Serie selbst konvergiert. Der Test sagt nichts über die positive Zeitreihe. Mit anderen Worten, kann der Test Ihnen nicht sagen, ob eine Reihe absolut konvergent oder bedingt konvergent. Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie die positive Serie mit einem anderen Test untersuchen. (Wenn die alternierende Reihe konvergent ist, wie es ist, es sein muss, entweder absolut oder bedingt convergent- es ist nur, dass Sie nicht feststellen können, welche es ist, es sei denn Sie in der Lage sind, um herauszufinden, ob die positive Zeit Reihe konvergiert.)


Nun versuchen Sie das folgende Problem. Bestimmen die Konvergenz oder Divergenz der folgenden Reihe. Wenn konvergent, festzustellen, ob die Konvergenz bedingt oder absolut ist.

image2.png
  1. Überprüfen Sie, ob die nte Term konvergiert gegen Null.

    image3.png

    Überprüfen Sie immer die nth Begriff, weil zuerst, wenn er auf Null konvergiert nicht, sind Sie fertig - die alternierende Reihe und die positive Serie werden beide voneinander abweichen. Beachten Sie, dass die nten Zeittest Divergenz sowie positive Serie gilt für alternierende Reihe.

  2. Überprüfen Sie, ob die Bedingungen abnehmen oder gleich bleiben (ohne Berücksichtigung der Minuszeichen).

    image4.png

    Dies ist negativ für alle x (# 8805- 3, weil der natürliche Logarithmus von etwas 3 oder höher ist mehr als 1 und x-quadriert, ist natürlich immer positiv), so verringert die Ableitung und damit die Steigung der Funktion negativ sind, und daher wird die Funktion. Schließlich, da die Funktion abnimmt, die Glieder der Reihe sinken auch. (Daran erinnern, dass am Anfang einer Reihe eine beliebige Anzahl von Bedingungen zu ignorieren wirkt sich nicht auf, ob die Reihe konvergiert oder divergiert oder ob Konvergenz bedingt oder Absolut- das ist, warum es okay ist, zu beginnen x = 3 und n = 3.) Das tut es.

    image5.png

    konvergiert durch die Leibniz-Kriterium.

  3. Bestimmen Sie die Art der Konvergenz.

    Sie können sehen, dass für n # 8805- 3 ​​die positive Serie,

    image6.png

    größer ist als der divergente harmonischen Reihe,

    image7.png

    so dass die positive Reihe divergiert durch den direkten Vergleichstest. Somit ist die alternierende Reihe bedingt konvergent.

Wenn die alternierende Reihe die zweite Forderung der Leibniz-Kriterium nicht erfüllt, es tut nicht folgen, dass die Reihe divergiert, nur dass dieser Test Konvergenz zu zeigen, schlägt fehl.

» » » » Wie man feststellt, ob eine alternierende Reihe konvergent oder divergiert