Wie kommen Sie Integration durch Teile

durch partielle Integration ist die Integration Version der Produktregel für die Differenzierung. Die Grundidee der partiellen Integration ist ein integraler Sie transformieren kippen Sie in ein einfaches Produkt minus einem integralen Sie kann machen. Hier ist die Formel:

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Versuchen Sie nicht, diese noch zu verstehen. Warten Sie auf die Beispiele, die folgen.

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Wenn Sie daran denken, dass, können Sie sich leicht merken, dass das Integral auf der rechten Seite genau wie der auf der linken Seite ist, es sei denn, die u und v rückgängig gemacht.

Hier ist die Methode auf den Punkt gebracht.

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Erstens, Sie haben den Integra in ein aufzuspalten u und dv so dass es passt die Formel. Für dieses Problem wählen ln (x), Um Ihre u. Dann, alles andere ist die dv, nämlich

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Als nächstes unterscheiden Sie u um Ihre du, und Sie integrieren dv um Ihre v. Schließlich stecken Sie alles, was in die Formel und du bist zu Hause kostenlos.

Durch die Integration von Teilen Box.
Durch die Integration von Teilen Box.

Damit alles gerade zu halten, organisieren Integration-by-Teile Probleme mit einem Kasten, wie die in der obigen Abbildung. Zeichnen Sie eine leere 2-by-2-Box, dann setzen Sie Ihre u, ln (x), In der linken oberen Ecke und Ihre dv,

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in der unteren rechten Ecke, wie in der folgenden Abbildung.

Das Ausfüllen der Box.
Das Ausfüllen der Box.

Die Pfeile in dieser Figur erinnern Sie auf der linken Seite zu differenzieren und auf der rechten Seite zu integrieren. Denken Sie an Differenzierung - die einfachere Sache - wie geht nach unten (wie bergab) und Integration - das härtere Sache - wie hinauf (wie das Gehen bergauf).

Jetzt in die Box:

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Die fertige Box für

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ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

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Eine gute Möglichkeit, die Integration-by-Teile Formel zu erinnern ist an der oberen linken Ecke Platz und zeichnen eine imaginäre Zahl 7 zu starten - quer, dann nach links unten, wie in der folgenden Abbildung dargestellt. Dies ist ein ach so sevenly Gedächtnisstütze (get it? - # 147-sevenly # 148- wie # 147-himmlischen # 148 -. Ha, ha, ha, ha)

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Erinnerung, wie Sie die 7 ziehen, mit dem ausgefüllten Feld auf die Figur zurückblicken. Die Integration-by-Teile Formel sagt Ihnen, den oberen Teil der 7 zu tun, nämlich

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minus dem Integral des diagonalen Teils des 7,

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(By the way, diese Methode ist viel einfacher zu tun, als zu erklären. Die Box-Technik Versuchen Sie, mit dem 7 mnemonic. Sie werden sehen, wie dieses System hilft Ihnen, die Formel lernen und diese Probleme zu organisieren.)

Bereit zu beenden? Stecken Sie alles in die Formel:

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Dies liegt daran, -2/3 mal eine beliebige Zahl ist immer noch nur eine beliebige Zahl.

Hier ist eine große Gedächtnisstütze dafür, wie die zur Auswahl u (Wieder, wenn Sie ausgewählt haben Ihre u, alles andere ist automatisch die dv.

Herbert E. Kasube kam mit dem Akronym oben Liate um Ihnen bei der Auswahl Ihrer u (Kalkül Nerds der Besuche Herb können Artikel in der American Mathematical Monthly 90, 1983 Ausgabe):

LLogarithmischwie log (x)
ichInverse trigonometrischewie arctan (x)
EINalgebraischwie 5x + 3 (x kann auf jede Leistung erhöht)
Ttrigonometrischwie cos (x)
EExponentiellwie 10 erhöht die x Power

(Beachten Sie, dass in Form einer Exponentialfunktion zu qualifizieren, muss der Strom ein enthalten x, nicht nur eine Nummer.)

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