Wie eine uneigentliche Integral zu bewerten, die horizontal unendlich ist

Unangebrachter Integrale sind nützlich für eine Vielzahl von Problemen zu lösen. EIN horizontal unendlich uneigentliche Integral enthält entweder # 8734- oder - # 8734- (oder beide) als Integrationsgrenze.

eine uneigentliche Integral Auswertung ist ein Prozess in drei Schritten:

  1. Express das uneigentliche Integral als Grenzwert eines geeigneten Integral.

  2. Bewerten Sie die Integral durch welche Methode funktioniert.

  3. Bewerten Sie die Grenze.

Eine horizontale uneigentliche Integral tritt auf, wenn eine bestimmte Integral eine Integrationsgrenze hat, die entweder ist # 8734- oder - # 8734-. Diese Art der uneigentliche Integral ist leicht zu erkennen, weil unendlich genau dort in das Integral selbst ist. Es ist nicht zu verfehlen.

Angenommen, dass Sie die folgende uneigentliche Integral ausgewertet werden soll:

image0.png

Hier ist, wie Sie es tun, Schritt für Schritt:

  1. Express das uneigentliche Integral als Grenzwert eines geeigneten Integral.


    Wenn die obere Grenze der Integration ist # 8734-, verwenden Sie diese Gleichung:

    image1.png

    Also hier ist was Sie tun können:

    image2.png
  2. Bewerten Sie die Integral:

    image3.png
  3. Bewerten Sie die Grenze:

    image4.png

Bevor wir reflektieren für einen Moment, dass der Bereich unter ein unendlich lange Kurve ist eigentlich endlich. Ah, die Magie und Macht der Kalkül!

Ebenso nehme an, dass Sie die folgenden auswerten möchten:

image5.png

Hier ist, wie Sie es tun:

  1. Express das Integral als Grenzwert eines geeigneten Integral.

    Wenn die untere Grenze der Integration ist - # 8734-, verwenden Sie diese Gleichung:

    image6.png

    Also hier ist das, was Sie schreiben:

    image7.png
  2. Bewerten Sie die Integral:

    image8.png
  3. Bewerten Sie die Grenze - in diesem Fall, wie c Ansätze - # 8734-, der erste Ausdruck ist nicht betroffen und der zweite Term nähert sich 0:

    image9.png

Auch hier Kalkül sagt Ihnen, dass in diesem Fall endlich die Fläche unter einer unendlich langen Kurve ist.

Natürlich, manchmal ist die Fläche unter einer unendlich langen Kurve unendlich. In diesen Fällen kann nicht das uneigentliche Integral ausgewertet werden, da das Limit nicht existiert (DNE). Hier ist ein kurzes Beispiel, das diese Situation zeigt:

image10.png

Es ist vielleicht nicht offensichtlich sein, dass dieses uneigentliche Integral einen unendlich großen Gebiet darstellt. Schließlich nähert sich der Wert der Funktion als 0 x erhöht sich. Aber beobachten, wie diese Auswertung heraus spielt:

  1. Express das uneigentliche Integral als Grenzwert eines geeigneten Integral:

    image11.png
  2. Bewerten Sie die Integral:

    image12.png

siehe An dieser Stelle können Sie, dass die Grenze ins Unendliche explodiert, so dass es nicht existiert. Daher kann die falsche integral nicht ausgewertet werden, da die Fläche, die sie darstellt unendlich ist.

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