Wie eine uneigentliche Integral zu bewerten, die vertikal unendlich ist

Unangebrachter Integrale sind nützlich für eine Vielzahl von Problemen zu lösen. EIN vertikal unendlich unangebrachter integral enthält mindestens eine vertikale Asymptote. Vertically unendlich uneigentliche Integrale sind schwerer zu erkennen als jene, die horizontal unendlich sind. Ein Integral dieses Typs enthält wenigstens eine vertikale Asymptote in der Gegend, die Sie messen. (EIN vertikale Asymptote ist ein Wert von x woher f(x) Gleich entweder oder -). Die Asymptote eine Grenze der Integration sein kann, oder es kann irgendwo zwischen den beiden Integrationsgrenzen fallen.

Versuchen Sie nicht, zu gleiten und uneigentliche Integrale als richtige Integrale bewerten. In den meisten Fällen werden Sie die falsche Antwort erhalten!

Es gibt zwei Fälle, in denen Sie benötigen, um vertikal unendlich uneigentliche Integrale zu handhaben.

Umgang mit asymptotischen Grenzen der Integration

Nehmen wir an, dass Sie das folgende Integral ausgewertet werden soll:

image0.png

Auf den ersten Blick können Sie versucht sein, dies als richtige Integral zu bewerten. Aber diese Funktion hat eine Asymptote bei x = 0. Das Vorhandensein einer Asymptote an einer der Grenzen der Integrationskräfte Sie diese als eine falsche integral zu bewerten.

  1. Express das Integral als Grenzwert eines geeigneten Integral:

    image1.png

    Beachten Sie, dass in diesem Limit ist, c nähert sich 0 von rechts -, die von der positiven Seite ist - denn dies ist die Richtung der Annäherung von innerhalb der Grenzen der Integration ist. (Das ist, was das kleine Pluszeichen in der Grenze bedeutet.)

  2. Bewerten Sie die Integral:

    Dieses Integral ist leicht bewertet als

    image2.png

    mit Power-Regel:

    image3.png
  3. Bewerten Sie die Grenze:

    image4.png

    An dieser Stelle bietet Ihnen eine direkte Substitution mit Ihrer letzten Antwort:

    = 2

Zusammenstückeln diskontinuierliche Integra

Wenn eine Funktion auf einem Intervall stetig ist, dann ist es auch integrierbar auf diesem Intervall. Einige Integrale, die vertikal unendlich sind, haben Asymptoten nicht an den Rändern, sondern irgendwo in der Mitte. Das Ergebnis ist ein diskontinuierliche Integra - das heißt, eine Funktion mit einer Diskontinuität auf dem Intervall, das Sie integrieren versuchen.

Diskontinuierliche Integra sind die kniffligsten uneigentliche Integrale zu erkennen - Sie wirklich wissen müssen, wie der Graph der Funktion, die Sie benimmt sich gerade zu integrieren.

Um eine falsche Integral dieser Art auszuwerten, trennen sie an jedem Asymptote in zwei oder mehr Integrale. Dann bewerten jede der resultierenden Integrale als uneigentliche Integral.

Angenommen, dass Sie das folgende Integral ausgewertet werden soll:

image5.png

Da der grafischen Darstellung von sec x enthält eine Asymptote bei

image6.png

der Graph von sec2 x hat eine Asymptote an der gleichen Stelle. Zum Beispiel kann eine graphische Darstellung des unsachgemäßen integral

image7.png

in in dieser Figur gezeigt.

image8.jpg

Um dieses Integral auszuwerten, brechen sie in zwei Integrale auf dem Wert von x wo die Asymptote befindet:

image9.png

Jetzt bewerten die Summe der beiden resultierenden uneigentliche Integrale.

Sie können sich eine Menge Arbeit sparen, indem zu bemerken, wenn zwei Bereiche symmetrisch sind. In diesem Fall ist die Asymptote bei

image10.png

spaltet die schraffierte Fläche in zwei symmetrische Bereiche. So kann man ein Integral finden und es dann verdoppeln Sie Ihre Antwort zu bekommen:

image11.png

Jetzt bewerten dieses Integral:

  1. Express das Integral als Grenzwert eines geeigneten Integral:

    image12.png

    In diesem Fall ist die vertikale Asymptote an der oberen Grenze der Integration, so c Ansätze

    image13.png

    von links -, die aus dem Inneren des Intervalls ist, wo Sie den Bereich sind zu messen.

  2. Bewerten Sie die Integral:

    image14.png
  3. Bewerten Sie die Grenze:

    Beachten Sie, dass

    image15.png

    tan ist nicht definiert, weil die Funktion x hat eine Asymptote bei

    image16.png

    so dass die Grenze nicht existiert (DNE). Daher ist das Integral, das Sie auch, weil das Gebiet existiert nicht zu bewerten sind versucht, dass es darstellt, ist unendlich.

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