Wie Kompositionen von Funktionen zu integrieren

Kompositionen von Funktionen - das heißt, eine Funktion innerhalb einer anderen verschachtelt - sind von der Form f(G(x)). Sie können ihnen bei der Integration durch Substitution u = G(x) wann

  • Sie wissen, wie die äußere Funktion zu integrieren f.

  • Die innere Funktion G(x) Unterscheidet auf einen konstanten - das heißt, es ist von der Form Axt oder Axt + b.

Hier ist ein Beispiel. Nehmen wir an, dass Sie die Funktion integrieren möchten, csc2 (4x + 1).

Dies ist eine Zusammensetzung von zwei Funktionen:

  • Die äußere Funktion f ist die csc2 (u) -Funktion.

  • Die innere Funktion ist G(x) = 4x + 1, die differenziert auf die konstante 4.

Die Zusammensetzung wird zusammengehalten durch die Gleichheit u = 4x + 1. Das heißt, die zwei Grundfunktionen f(u) = Csc2 u und G(x) = 4x + 1are durch die Gleichheit zusammengesetzt u = 4x + 1 zu erzeugen, um die Funktion f(G(x)) = Csc2 (4x + 1).

Beide Kriterien erfüllt sind, so dass dieses Integral ist ein heißer Kandidat für die Substitution mit u = 4x + 1. Hier ist, wie Sie es tun:

  1. Deklarieren Sie eine Variable u und ersetzen sie in den integrierten:

    image0.png

  2. Unterscheiden u = 4x + 1 und zu isolieren, die x Begriff.

    Dies gibt Ihnen die Differential, du = 4dx.

    image1.png
  3. Ersatz du/ 4 für dx in dem Integral:

    image2.png
  4. Bewerten Sie die Integral:

    image3.png
  5. Ersetzen Sie zurück 4x + 1 für u:

    image4.png

Hier ist ein weiteres Beispiel. Nehmen wir an, dass Sie das folgende Integral ausgewertet werden soll:

image5.png

Dies ist eine Zusammensetzung von zwei Funktionen:

  • Die äußere Funktion f ein Bruchteil ist - technisch, ein Exponent von -1 - was Sie wissen, wie zu integrieren.

  • Die innere Funktion ist G(x) = x - 3, die 1 unterscheidet.

Die Zusammensetzung wird zusammengehalten durch die Gleichheit u = x - 3. Das heißt, die zwei Grundfunktionen

image6.png

werden durch die Gleichheit zusammengesetzt u = x - 3 zu erzeugen, um die Funktion

image7.png

Die Kriterien erfüllt sind, so dass Sie mit Hilfe der Gleichheit integrieren u = x - 3:

  1. Deklarieren Sie eine Variable u und ersetzen sie in den integrierten:

    image8.png
  2. Unterscheiden u = x - 3 und zu isolieren, die x Begriff.

    Dies gibt Ihnen die Differential du = dx.

  3. Ersatz du für dx in dem Integral:

    image9.png
  4. Bewerten Sie die Integral:

    = Ln |u| + C

  5. ersetzen Sie zurück x - 3 für u:

    = Ln |x - 3 | + C

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