Wie Integrieren von Odd Powers von Sinus und Cosinus

Sie können integrieren irgendein Funktion der Form sinm x cosn x wann m ungerade ist, für jeden realen Wert der n. Für dieses Verfahren halten in die handliche trig Identität sin Geist2 x + cos2 x = 1. Zum Beispiel, hier ist, wie Sie integrieren

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  1. Ziehen Sie weg eine Sünde x und legen Sie es neben der dx:

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  2. Tragen Sie die trigonometrische Identität sin2 x = 1 - cos2 x den Rest der Sines in der Funktion als Cosinus zum Ausdruck bringen:

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  3. Verwenden Sie die Variablensubstitution u = cos x und du = -sin x dx:

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Nun, da Sie haben die Funktion im Hinblick auf die Befugnisse der u, das Schlimmste ist vorbei. Sie können die Funktion aus, verwandelte sie in ein Polynom erweitern. Dies ist nur Algebra:

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Um fortzufahren, verwenden Sie die Summenregel und Constant Multiple-Regel zu trennen diese in vier Integrale. Vergessen Sie nicht, dass die Minuszeichen auf alle vier Integrale zu verteilen!

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An dieser Stelle können Sie jedes Integral separat mit der Potenzregel zu bewerten:

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Schließlich verwenden u = cos x die Variablensubstitution umkehren:

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Beachten Sie, dass, wenn Sie ersetzen zurück in Bezug auf x, die Macht geht an die cos nächsten anstatt neben dem x, weil Sie die gesamte Funktion cos sind Anhebung x zu einer Macht.

In ähnlicher Weise integrieren Sie irgendein Funktion der Form sinm x cosn x wann n ungerade ist, für jeden realen Wert der m. Diese Schritte sind praktisch die gleichen wie die in dem vorherigen Beispiel. Zum Beispiel hier, wie Sie sin integrieren-4x cos9 x:

  1. Ziehen Sie weg ein cos x und legen Sie es neben der dx:

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  2. Übernehmen Sie die trigonometrische Identität cos2 x = 1 - sin2 x den Rest der Kosinus in der Funktion als Sinus- auszudrücken:

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  3. Verwenden Sie die Variablensubstitution u = sin x und du = cos x dx:

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An dieser Stelle können Sie die Funktion verteilen und diese auch ausdrücken als Summe von Potenzen von u.

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