Wie man erkennt eine P-Serie

Eine wichtige Art der Reihe heißt die p-Serie. EIN p-Serie kann entweder divergent oder konvergent sein, abhängig von seinem Wert. Es nimmt die folgende Form:

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Hier ist ein typisches Beispiel für ein p-Serie, wenn p = 2:

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Hier sind ein paar weitere Beispiele p-Serie:

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Denken Sie daran, nicht zu verwechseln p-Serie mit geometrischen Reihe. Hier ist der Unterschied:

  • Eine geometrische Reihe hat die Variable n im Exponenten - zum Beispiel,

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  • EIN p-Serie hat die Variable in der Basis - zum Beispiel

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Wie bei den geometrischen Reihe, existiert eine einfache Regel, ob eine für die Bestimmung p-Serie ist konvergent oder divergent.

EIN p-Reihe konvergiert, wenn p > 1 und divergiert, wenn p lt; 1.

Hier sind ein paar wichtige Beispiele p-Serie, die entweder konvergent oder divergent.

Wann p = 1: die harmonische Reihe

Wann p = 1, die p-Serie hat die folgende Form:

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Dies p-Serie ist wichtig genug, um seinen eigenen Namen zu haben: die harmonischen Reihe. Die harmonische Reihe ist abweichend.

Wann p = 2 ist, p = 3 ist, und p = 4

Hier sind die p-Serie, wenn p gleich der ersten ganzen Zahlen größer als 1:

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weil p > 1 ist, sind diese Serie alle konvergent.

Wann p = 1/2

Wann p = 1/2 der p-Serie sieht wie folgt aus:

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weil p # 8804- 1, diese Serie abweicht. Um zu sehen, warum es abzweigt, feststellen, dass, wenn n ist eine Quadratzahl, sagen n = k2, das nte Term entspricht

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Also das p-Serie umfasst jedes Glied in der harmonischen Reihe und viele weitere Begriffe. Da die harmonische Reihe divergent ist, ist diese Serie auch divergent.

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