Lösen Sie uneigentliche Integrale mit einem oder zwei unendlichen Grenzen der Integration

Wenn uneigentliche Integrale haben ein oder zwei unendlichen Grenzen der Integration, können Sie diese Integrale lösen, indem sie in Grenzen abbiegenden c nähert sich positive oder negative Unendlichkeit. Hier sind zwei Beispiele:

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So unsachgemäße dieses Integral konvergent.

Im nächsten integral ist der Nenner kleiner ist, x anstelle von x2, und damit die Fraktion größer, so dass Sie erwarten würden,

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was es ist. Aber es ist nicht nur größer, es ist Weg größer:

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Diese uneigentliche Integral divergiert.

Zwei Funktionen.
Zwei Funktionen.

Diese Abbildung zeigt, diese beiden Funktionen: die Fläche unter

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Die Fläche unter

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genau die gleiche ist wie die Fläche der 1-von-1 Kästchen rechts daneben: 1 Quadrateinheit. Die Fläche unter

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ist viel viel größer - eigentlich ist es unendlich größer als ein Quadrat groß genug, um die Milchstraße zu umschließen. Ihre Formen sind ziemlich ähnlich, aber ihre Bereiche könnten nicht unterschiedlicher sein.

Wenn beide der Integrationsgrenzen unendlich sind, spalten sie das Integral in zwei und jedes Teil in eine Grenze drehen. Splitting das Integral bis zu x = 0 ist praktisch, weil Null eine einfache Zahl ist zu behandeln, aber man kann es überall aufgespalten Sie mögen. Null kann auch wie eine gute Wahl erscheinen, weil es sieht aus wie es in der Mitte ist zwischen

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Aber das ist eine Illusion, weil es keinen Mittelweg zwischen

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oder man könnte sagen, dass jeder Punkt auf der x-Achse ist die Mitte.

Hier ein Beispiel:

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  1. Split das Integral in zwei Teile.

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  2. Drehen Sie jeden Teil in eine Grenze.

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  3. Bewerten Sie die einzelnen Teile und fügen Sie die Ergebnisse zusammen.

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Vielleicht möchten Sie noch einmal, dieses Problem zu tun, andere das Integral irgendwo Aufspaltung als bei x = 0, um zu bestätigen, dass Sie das gleiche Ergebnis zu erhalten.

Wenn entweder "halbe" Integral divergiert, das Ganze, original Integral divergiert.

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