Die Definition des Definite Integral und wie es funktioniert

Sie können die Fläche unter einer Kurve annähern von rechts, links oder Mitte Rechtecke addiert. Um einen genauen Bereich zu finden, müssen Sie eine bestimmte Integral zu verwenden.

Wenn Sie die Fläche unter einer Kurve nähern, bilden die Spitzen der Rechtecke eine Form Sägezahn, die nicht perfekt entlang der sanft gebogene Funktion passt. So finden die genau Fläche unter einer Kurve mit Rechtecke, müssten Sie den Bereich von einer unendlichen Anzahl von unendlich dünnen Rechtecke, deren zu finden # 147-Tops # 148- passen perfekt die Kurve. Jetzt kann man nicht wirklich eine unendliche Anzahl von Rechtecke verwenden, aber mit der fantastischen Erfindung von Grenzen, das ist eine Art, was passiert.

Hier ist die # 147-simple # 148- Definition des bestimmten Integral, das verwendet wird exakt Bereiche zu berechnen. Es basiert auf der Grenze einer Riemann Summe von rechten Rechtecke. Die genaue Fläche unter einer Kurve zwischen ein und b wird durch die gegebene bestimmte Integral, definiert ist, wie folgt:

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Wenn eine ungefähre oder genaue Fläche unter einer Kurve berechnet wird, alle drei Summen - links, rechts und Mitte - sind Riemann Summen nach dem großen deutschen Mathematiker G. F. B. Riemann (1826-1866) genannt. Grundsätzlich hat jede Summe aus Rechtecke ist eine Riemann Summe, einschließlich seltsame Summen Rechtecke von ungleicher Breite besteht.

Mit dieser Formel, hier ist die genaue Fläche unter x2 + 1 zwischen 0 und 3:

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Dieses Ergebnis ist ziemlich erstaunlich, wenn man darüber nachdenkt. Mit dem Limit Prozess, erhalten Sie ein genau Antwort von 12 - die wie 12,00000000 # 133- genau auf eine unendliche Anzahl von Dezimalstellen Art ist - für den Bereich unter der glatten, gebogenen Funktion, x2 + 1, bezogen auf die Bereiche abgeflachte Rechtecke, die in einem gezackten, Sägezahn-Mode entlang der Kurve laufen.

Die Suche nach den genauen Bereich von 12 durch die Grenze eines Riemann Summe verwendet, ist eine Menge Arbeit. Diese komplizierte Methode der Integration ist vergleichbar ein Derivat auf die harte Weise zu bestimmen, indem die formale Definition verwendet, die auf dem Differenzenquotient basiert. Und wie die Differenzenquotient mit einem Derivat zu finden, werden Sie nicht die Grenze einer Riemann Summe verwenden Fläche zu berechnen, wenn Sie die Verknüpfung Methode zu finden Bereich lernen.

Sie arbeitete gerade den Bereich heraus unter x2 + 1, unter Verwendung der Formel für die Summe der rechten Rechtecke. (By the way, wenn Sie vorhaben, Bereich zu berechnen die harte Weise die Grenze einer Riemann Summe verwenden, könnten Sie auch immer benutzen Sie das richtige rectangles- es ist wahrscheinlich der einfachste Weg zu gehen). Es stellt sich heraus, aber, dass Sie links Rechtecke oder Rechtecke Mittelpunkt verwendet haben könnte. In der Tat haben Sie eine Mischung aus verschiedenen Arten von Rechtecke verwendet werden könnten, (versuchen Sie dies nicht zu Hause). Egal, welche Art von Rechtecke verwenden Sie die Grenze kommt immer gleich aus.

Das bringt Sie auf die folgende total extreme, down-and-dirty Integration Hokuspokus, die all diese Möglichkeiten berücksichtigt. Sie werden wahrscheinlich nie die folgende Definition des bestimmten Integral verwenden. Warum also sollten Sie es lernen? Gute Frage. Wie wäre es wegen der Schönheit der reinen Mathematik? Oder, wenn Sie nicht kaufen, dass und nur daran interessiert, in einem praktischen Grund, nur um die einzige praktische Motivation für diese Definition zu lernen ist, dass es auf eine Prüfung sein könnte.

Die Definite Integral (real-McCoy-Definition):

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