Das Verständnis der Konvergenzintervall

Anders als geometrische Reihe und p-Serie, eine Potenzreihe konvergiert häufig oder divergiert auf der Grundlage ihrer x Wert. Dies führt zu einem neuen Konzept, wenn sie mit Potenzreihe zu tun: das Intervall der Konvergenz.

Das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe ist der Satz von x Werte, für die die Reihe konvergiert.

Das Intervall der Konvergenz ist nie leer

Jede Potenzreihe konvergiert für einen Wert von x. Das heißt, das Intervall der Konvergenz für eine Potenzreihe ist nie die leere Menge.

Obwohl diese Tatsache nützliche Auswirkungen hat, ist es eigentlich ziemlich ein Kinderspiel. Nehmen wir zum Beispiel einen Blick auf die folgende Potenzreihe:

image0.png

Wann x = 0, wertet diese Serie auf 1 + 0 + 0 + 0 + ..., so ist es Ähnlich 1. konvergiert offensichtlich, einen Blick auf diese Macht-Serie:

image1.png

Dieses Mal, wenn x = -5, Konvergiert die Reihe 0, ebenso belanglos wie das letzte Beispiel.

Man beachte, dass in diesen beiden Beispielen konvergiert die Reihe trivially bei x = ein für eine Potenzreihe zentriert bei ein.

Drei Möglichkeiten für das Intervall Konvergenz

Drei Möglichkeiten gibt es für das Intervall der Konvergenz jeder Potenzreihe:

  • Die Reihe konvergiert nur, wenn x = ein.

  • Die Reihe konvergiert auf einem Intervall (offen oder an beiden Enden geschlossen) zentriert bei ein.


  • Die Reihe konvergiert für alle reellen Werte von x.

Angenommen, dass Sie das Intervall der Konvergenz zu finden wollen:

image2.png

Diese Potenzreihe ist auf 0 zentriert ist, so konvergiert, wenn x = 0, das Verhältnis-Test können Sie herausfinden, ob es für alle anderen Werte konvergiert von x. Zum starten, stellen Sie die folgende Grenze nach oben:

image3.png

Um diese Grenze zu bewerten, beginnen durch Aufheben xn im Zähler und Nenner:

image4.png

Als nächstes verteilen die Klammern im Zähler zu entfernen:

image5.png

Wie es aussieht, ist diese Grenze von der Form

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so L'Hopital-Regel anzuwenden, über die Variable Differenzierung n:

image7.png

Aus diesem Ergebnis sagt Ihnen, das Verhältnis-Test, dass die Serie:

  • Konvergent, wenn -1 lt; x lt; 1

  • divergiert, wenn x lt; -1 und x > 1

  • konvergieren oder divergieren kann, wenn x = 1 und x = -1

Glücklicherweise ist es einfach, zu sehen, was in diesen beiden übrigen Fällen geschieht. Hier ist, was die Serie aussieht, wenn x = 1:

image8.png

Klar, divergiert die Reihe. In ähnlicher Weise hier ist, wie es aussieht, wenn x = -1:

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Diese alternierende Folge schwingt wild zwischen negativen und positiven Werten, so divergiert auch.

Als letztes Beispiel sei angenommen, dass Sie das Intervall der Konvergenz für die folgende Serie finden wollen:

image10.png

Diese Serie ist auf 0 zentriert ist, so konvergiert, wenn x = 0. Die eigentliche Frage ist, ob es für andere Werte konvergiert von x. Da dies eine alternierende Reihe ist, können Sie das Verhältnis Test auf die positive Version davon gelten, ob Sie nachweisen können, dass es absolut konvergent ist:

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Zunächst einmal, wollen Sie dies ein wenig zu vereinfachen:

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Als nächstes erweitern Sie die Exponenten und factorials aus:

image13.png

An dieser Stelle ist eine Menge Auslöschung möglich:

image14.png

Diese Zeit fällt die Grenze zwischen -1 und 1 für alle Werte von x. Dieses Ergebnis zeigt, dass die Reihe konvergiert absolut für alle Werte von x, so dass die abwechselnde Reihe konvergiert auch für alle Werte von x.

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