Verwenden Sie eine Verknüpfung für Kompositionen von Funktionen Integration

Sie können eine Verknüpfung zu integrieren Kompositionen von Funktionen nutzen - das heißt, verschachtelte Funktionen der Form f(G(x)). Technisch gesehen, verwenden Sie die Variablensubstitution u = G(x), Aber Sie können diesen Schritt umgehen und immer noch die richtige Antwort.

Diese Verknüpfung funktioniert für Kompositionen von Funktionen f(G(x)), Für die

  • Sie wissen, wie die äußere Funktion zu integrieren f.

  • Die innere Funktion G(x) Ist von der Form Axt oder Axt + b - das heißt, unterscheidet sie auf eine Konstante.

Wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sind, können Sie integrieren f(G(x)) Durch die folgenden drei Schritten:

  1. Notieren Sie den Kehrwert des Koeffizienten x.

  2. Multiplizieren Sie durch das Integral der äußeren Funktion, das Kopieren der inneren Funktion als würden Sie, wenn Sie die Kettenregel bei der Differenzierung verwendet.

  3. Hinzufügen C.

Hier ein Beispiel:

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Beachten Sie, dass dies eine Funktion innerhalb einer Funktion verschachtelt ist, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Die äußere Funktion f ist die Cosinus-Funktion.

  • Die innere Funktion ist G(x) = 4x, was von der Form Axt.


So können Sie diese Funktion schnell integrieren, wie folgt:

  1. Schreiben Sie den Kehrwert von 4 nach unten:

    image1.png
  2. Multipliziert reziproken durch das Integral der äußeren Funktion, Kopieren der innere Funktion:

    image2.png
  3. Hinzufügen C:

    image3.png

Das ist es! Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie differenzieren, die Kettenregel mit:

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Hier ein weiteres Beispiel:

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Denken Sie daran, wie Sie, dass s beginnen2 10x dx ist ein Notations Abkürzung für [sec (10x)]2. So die äußere Funktion f ist die s2 Funktion und die innere Funktion ist G(x) = 10x. Die Kriterien für die Variablensubstitution erfüllt sind, so machen Sie Ihren Weg durch die einzelnen Schritte:

  1. Notieren Sie den Kehrwert von 10:

    image6.png
  2. Multipliziert reziproken durch das Integral der äußeren Funktion, Kopieren der innere Funktion:

    image7.png
  3. Hinzufügen C:

    image8.png

Hier ist die Kontrolle:

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Schauen Sie sich auf ein anderes Beispiel:

image10.png

In diesem Fall ist die äußere Funktion Division, die als Funktion zählt (technisch gesehen f(x) = x-1). Die innere Funktion ist 7x + 2. Beide Funktionen die Kriterien erfüllen, also hier, wie diese Integration durchzuführen:

  1. Schreiben Sie den Kehrwert des Koeffizienten nach unten 7:

    image11.png
  2. Multipliziert reziproken durch das Integral der äußeren Funktion, Kopieren der innere Funktion:

    image12.png
  3. Hinzufügen C:

    image13.png

Sie sind fertig! Sie können Ihr Ergebnis durch Differenzierung, mit der Kettenregel überprüfen:

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Betrachten wir ein weiteres Beispiel:

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Diese Zeit, die äußere Funktion f Wurzel ist ein Quadrat - das, ein Exponent von 1/2 ist - und G(x) = 12x - 5, so können Sie eine schnelle Substitution verwenden:

  1. Notieren Sie den Kehrwert von 12:

    image16.png
  2. Multiplizieren Sie das Integral der äußeren Funktion, Kopieren Sie die innere Funktion:

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  3. Hinzufügen C:

    image18.png

Die Tabelle gibt Ihnen eine Vielzahl von Integralen der Form f(G(x)). Wie Sie in diesem Diagramm sehen, ein Gefühl für das Muster, so dass Sie es erkennen können, wenn Sie die Möglichkeit haben, schnell zu integrieren.

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