Schreiben einer Matrix in Reduzierte Stufenform

Sie können das finden reduzierte Stufenform einer Matrix, die Lösungen auf ein System von Gleichungen zu finden. Obwohl dieses Verfahren kompliziert ist, ist eine Matrix in reduzierten Stufenform bringen von Vorteil, da diese Form einer Matrix an jeder Matrix einzigartig ist (und das einzigartige Matrix könnten Sie geben die Lösungen für Ihr Gleichungssystem).

Die reduzierte Stufenform einer Matrix ist eine Matrix mit einer Reihe von sehr spezifischen Anforderungen. Diese Anforderungen beziehen sich auf, wo alle Zeilen aller 0s liegen als auch, was die erste Zahl in jeder Reihe ist. Hinweis: Die erste Zahl in einer Zeile einer Matrix, die nicht 0 ist, heißt das Leitkoeffizient. berücksichtigt werden in reduzierten Stufenform zu sein, muss eine Matrix treffen alle die folgenden Anforderungen:

  • Alle Zeilen alle 0s enthalten, sind am unteren Rand der Matrix.

  • Alle führenden Koeffizienten 1.

  • Jedes Element, über oder unter einem führenden Koeffizient ist 0.

  • Der führende Koeffizient jeder Zeile ist immer auf der linken Seite des führenden Koeffizienten der Reihe darunter.

    Eine Matrix (a) in reduzierter Stufenform und (b) nicht in reduzierten Stufenform.
    Eine Matrix (a) in reduzierter Stufenform und (b) nicht in reduzierten Stufenform.

Abbildung a zeigt Ihnen eine Matrix, in reduzierten Stufenform und Figur b ist nicht in reduzierter Stufenform, weil die 7 direkt über dem höchsten Koeffizienten der letzten Reihe ist und die 2 ist über dem höchsten Koeffizienten in Reihe zwei.

Die reduzierte Stufenform einer Matrix ist praktisch für die Systeme der Lösung von Gleichungen, die 4 x 4 oder größer sind, weil das Verfahren zur Beseitigung eine enorme Menge an Arbeit an Ihrer Seite ziehen würde. Das folgende Beispiel zeigt Ihnen, wie eine Matrix in reduzierten Stufenform zu erhalten mit elementare Zeilenoperationen. Sie können jede dieser Operationen verwenden, um eine Matrix in reduzierten Stufenform zu erhalten:

  • Multiplizieren jedes Element in einer einzelnen Reihe mit einer Konstanten (ungleich Null).


  • Tauschen Sie zwei Reihen.

  • In zwei Reihen zusammen.

Mit Hilfe dieser elementaren Zeilenoperationen können Sie jede Matrix so umschreiben, dass die Lösungen für das System, das die Matrix hervor darstellt.

Verwenden Sie die reduzierte Stufenform nur wenn Sie speziell so durch eine vorge Kalkül Lehrer oder Lehrbuch zu tun erzählt. Reduzierte Stufenform braucht viel Zeit, Energie und Präzision. Es kann eine Menge von Maßnahmen ergreifen, was bedeutet, dass Sie in Tonnen von Orten durcheinander geraten kann. Wenn Sie die Wahl haben, sollten Sie für eine weniger strenge Taktik entscheiden (es sei denn natürlich, Sie versuchen zu zeigen).

Die vielleicht bekannteste (und nützlich) Matrix in pre-Kalkül ist die Identitätsmatrix ist, was sich 1s entlang der Diagonale von der oberen linken Ecke zu der unteren rechten und hat überall sonst 0s. Es ist eine quadratische Matrix in reduzierten Stufenform und steht für das Identitätselement der Multiplikation in der Welt der Matrizen, was bedeutet, dass eine Matrix durch die Identität Ergebnisse in der gleichen Matrix multipliziert wird.

Die Identitätsmatrix ist eine wichtige Idee bei der Lösung von Systemen, denn wenn man die Koeffizientenmatrix wie die Identitätsmatrix aussehen manipulieren kann (unter Verwendung von Rechts Matrix-Operationen), dann ist die Lösung für das System auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen.

image1.png

Neuschreiben dieser Matrix als ein System, um die Werte erzeugt x = -1, y = 3 ist, und z = -4.

Aber Sie müssen nicht die Koeffizientenmatrix nehmen diese weit nur eine Lösung zu erhalten. Sie können es in Stufenform schreiben, wie folgt:

image2.png

Dieser Aufbau unterscheidet sich von reduzierten Stufenform, weil Stufenform Zahlen über den führenden Koeffizienten sein können, aber nicht unten.

dieses System Umschreiben gibt Ihnen die folgende aus den Reihen:

image3.png

Wie beurteilen Sie die Lösung bekommen - die Werte von x, y, und z - von dort? Die Antwort auf diese Frage ist, zurück Lösung, auch bekannt als Rücksubstitution. Wenn eine Matrix, in Stufenform geschrieben ist, dann wird die Variable in der unteren Reihe ist für gelöst worden (wie z ist hier). Sie können diesen Wert in die Gleichung stecken oben für eine andere Variable zu lösen und diesen Prozess fortzusetzen, bewegen Sie Ihren Weg nach oben (oder rückwärts), bis Sie für alle Variablen gelöst haben. Wie bei einem Gleichungssystem, bewegen Sie sich von der einfachen Gleichung auf die kompliziertesten.

Hier ist, wie Sie die Rücklösung aus: Nun, da Sie wissen, z = -4, Können Sie diesen Wert in die zweite Gleichung ersetzen zu bekommen y:

image4.png

Und jetzt, da Sie wissen, z und y, Sie können weiter in die erste Gleichung gehen zurück zu bekommen x:

x + 2 (3) + 3 (-4) = -7

x + 6 bis 12 = -7

x - 6 = -7

x = -1

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