Arbeiten mit trigonometrischen Verhältnisse auf der Koordinatenebene

Um setzen Winkel auf der Ebene koordinieren, im Wesentlichen alles, was Sie tun aussehen ist bei den trigonometrischen Verhältnisse in Bezug auf x und y Werte eher als gegenüber, neben und Hypotenuse. Die Neudefinition dieser Verhältnisse die Koordinatenebene zu passen (manchmal auch als die Point-in-der-Ebene Definition) macht die Visualisierung diese einfacher. Einige der Winkel, beispielsweise größer als 180 Grad, aber man kann ein rechtwinkliges Dreieck bilden, indem ein Punkt verwendet und die x-Achse. Sie verwenden dann die neuen Verhältnisse fehlenden Seiten von rechtwinkligen Dreiecke und / oder trigonometrische Funktionswerte von Winkeln zu finden.

Wenn ein Punkt (x, y) Auf einer Koordinatenebene vorhanden ist, können Sie alle trigonometrischen Funktionen des Winkels zwischen der positiven x-Achse und dem Liniensegment vom Ursprung bis zu dem Punkt berechnen (X, y) indem Sie die folgenden Schritte (verwenden Sie die folgende Abbildung):

Finden der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn ein Punkt auf der Ebene gegeben.

Finden der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn ein Punkt auf der Ebene gegeben.
  1. Suchen Sie den Punkt auf der Koordinatenebene und schließen Sie es an den Ursprung, die eine gerade Linie verwendet wird.

    Nehmen wir zum Beispiel, dass Sie toevaluate alle sechs trigonometrischen Funktionen des Winkels zwischen der positiven x-Achse und der Verbindungsstrecke, den Ursprung zu dem Punkt in der Ebene gefragt werden (-4, -6). Das Liniensegment von diesem Punkt auf den Ursprung zu bewegen ist Ihr Hypotenuse und ist nun der Radius genannt r (Wie Sie in der Abbildung zu sehen).

  2. Zeichnen Sie eine senkrechte Linie den gegebenen Punkt auf der Verbindungs x-Achse, die Schaffung eines rechtwinkligen Dreiecks.

    Die Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks sind -4 und -6. Lassen Sie sich nicht die negativen Vorzeichen du- die Längen der Seiten sind noch 4 und 6. Die negativen Vorzeichen nur die Lage dieses Punktes zeigen auf der Koordinatenebene erschrecken.

  3. Finden Sie die Länge der Hypotenuse r durch die Abstandsformel oder den Satz des Pythagoras verwenden.

    Der Abstand, den Sie finden möchten, ist die Länge r von Schritt 1 die Abstandsformel zwischen der Verwendung von (x, y) Und dem Ursprung (0, 0), erhalten Sie

    image1.png

    Denken Sie daran, dass diese Gleichung nur die Haupt- oder positive Wurzel bedeutet, so die Hypotenuse für diese Point-in-der-Ebene Dreiecke ist immer positiv.

    Für dieses Beispiel erhalten Sie

    image2.png

    Dies vereinfacht zu

    image3.png

    Lesen Sie, was das Dreieck wie in der Abbildung aussieht.

  4. Bewerten Sie die trigonometrische Funktionswerte, die die alternative Definitionen verwenden.

    Mit den Etiketten aus der Figur, erhalten Sie die folgenden Formeln:

    image4.png

    Ersetzen Sie die Zahlen aus dem Beispiel in der Figur die trigonometrischen Werte zu ermitteln:

    image5.png
  5. Vereinfachen Sie zuerst:

    image6.png
  6. Dann rationalisieren den Nenner:

    image7.png
  7. Vereinfachen Sie zuerst:

    image8.png
  8. Dann rationalisieren:

    image9.png
  9. Diese Antwort vereinfacht 3/2.

    image10.png
  10. Beachten Sie, dass die Regeln der trigonometrischen Funktionen und ihre reziproken gelten weiterhin. Zum Beispiel, wenn Sie wissen,

    image11.png

    Sie automatisch wissen

    image12.png

    weil sie reziproken.

Wenn der Punkt, den Sie gegeben sind ein Punkt auf einer der Achsen ist, können Sie immer noch alle trigonometrischen Funktionswerte der mit dem positiven gebildeten Winkel finden x-Achse. Zum Beispiel ist, wenn der Punkt auf der x-Achse der Schenkel benachbart zu dem Winkel Theta und dem Radius haben den gleichen absoluten Wert (weil der Kosinus negativ sein kann, aber der Radius nicht kann). Deshalb, wenn der Punkt auf der positiven x-Achse, der Cosinus Theta 1 ist und der Sinus Theta 0-, wenn der Punkt auf der negativ ist x-Achse, der Kosinus von Theta-1 und der Sinus Theta noch 0. In ähnlicher sein, wenn der Punkt auf der ist y-Achse der Schenkel gegenüber dem Winkel theta und dem Radius des gleichen Absolutwert. Deshalb, wenn der Punkt auf der positiven y-Achse, der Sinus Theta wird 1 sein, und der Cosinus werden 0-, wenn der Punkt auf der negativ ist y-Achse, der Sinus Theta wird -1 und der Cosinus noch 0 sein.


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