Die Anwendung der Sphärische Bessel und Neumann-Funktionen auf ein freies Teilchen

In der Quantenphysik, können Sie die sphärischen Bessel und Neumann-Funktionen zu einem freien Teilchen (ein Teilchen, das nicht von einem Potential eingeschränkt ist) anzuwenden. Die Wellenfunktion in Kugelkoordinaten nimmt diese Form:

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und

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gibt Ihnen die sphärischen Harmonischen. Das Problem ist jetzt für den radialen Teil zu lösen, Rnl(r). Hier ist die radiale Gleichung:

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Für ein freies Teilchen, V (r) = 0, so dass die radiale Gleichung wird

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Die Art und Weise Sie in der Regel diese Gleichung handhaben ist als Ersatz

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und weil Sie haben eine Version der gleichen Gleichung für jede n Index ist es bequemer, einfach es zu entfernen, so dass Rnl (r) wird

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Diese Substitution bedeutet, dass

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wird wie folgt vor:

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Der radiale Teil der Gleichung sieht hart, aber die Lösungen erweisen sich als gut bekannt sein - diese Gleichung die sphärische Bessel-Gleichung genannt wird, und die Lösung ist eine Kombination der sphärischen Bessel-Funktionen

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und die sphärische Neumann-Funktionen

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wo einl und Bl Konstanten sind. Also, was sind die sphärischen Bessel-Funktionen und die sphärischen Funktionen Neumann? Die sphärischen Besselfunktionen gegeben sind durch

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Hier ist, was die ersten paar Iterationen

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aussehen wie:

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Wie über die sphärischen Neumann-Funktionen? Die sphärischen Neumann-Funktionen sind gegeben durch

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Hier sind die ersten paar Iterationen

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