Wie zu entkoppeln verschiedener Partikel in linear unabhängige Gleichungen

In der Quantenphysik können Sie Systeme von Partikeln zu entkoppeln, die Sie unterscheiden können - das heißt, Systeme von identifiably verschiedenen Teilchen - in linear unabhängige Gleichungen. Um dies zu verdeutlichen: Angenommen, Sie ein System von vielen verschiedenen Arten von Autos haben im Umlauf im Raum. Sie können alle jene Autos unterscheiden, weil sie alle unterschiedlich sind - sie unterschiedliche Massen haben, für eine Sache.

Jetzt sagen, dass jedes Auto mit seinem eigenen Potential interagiert - das ist das Potential, dass jeder ein Auto sieht nicht auf jedem anderen Auto abhängt. Das bedeutet, dass das Potential für alle Autos ist nur die Summe der einzelnen Potentiale jedes Auto sieht, die wie folgt aussieht, vorausgesetzt, Sie N Autos haben:

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Die Möglichkeit, die potentielle Energie bis zu einer Summe von unabhängigen Begriffe wie dies macht das Leben viel leichter zu schneiden. Hier ist, was der Hamilton-Operator wie folgt aussieht:

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Beachten Sie, wie viel einfacher diese Gleichung ist als dieser Hamilton-Operator für das Wasserstoffatom:

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Beachten Sie, dass Sie die vorherige Gleichung für das Potential aller Autos in N verschiedenen Gleichungen trennen kann:

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Und die Gesamtenergie ist nur die Summe der Energien der einzelnen Autos:

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Und die Wellenfunktion ist nur das Produkt der einzelnen Wellenfunktionen:

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außer es für ein Produkt von Begriffen steht, nicht eine Summe, und nich bezieht sich auf alle Quantenzahlen der ichten Teilchens.

Wie Sie sehen können, wenn die Teilchen mit dem Sie arbeiten zu unterscheiden und unterliegen unabhängigen Potentiale sind, wird das Problem der Handhabung viele von ihnen einfacher. Sie können das System lösen sich in N unabhängige Ein-Teilchen-Systeme. Die Gesamtenergie ist die Summe der einzelnen Energien der einzelnen Teilchen. Die Schr # 246-dinger Gleichung bricht in N verschiedenen Gleichungen nach unten. Und die Wellenfunktion endet als bis nur das Produkt der Wellenfunktionen der N verschiedenen Teilchen.

Werfen Sie einen Blick auf ein Beispiel. Sagen Sie bitte vier Teilchen, die jeweils mit einer anderen Masse, auch in einem Quadrat. Sie wollen die Energie und die Wellenfunktion dieses Systems zu finden. Hier ist, was das Potential des Platzes gut, wie dies für jeden der vier nicht wechselwirkenden Teilchen aussieht:

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Hier ist, was die Schr # 246-dinger Gleichung sieht so aus:

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Sie können die vorstehenden Gleichung in vier ein Einteilchengleichungen trennen:

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Die Energieniveaus sind

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Und weil die Gesamtenergie die Summe der einzelnen Energien ist,

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die Energie im Allgemeinen

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Also hier ist die Energie des Grundzustands - wo alle Teilchen im Grundzustand sind, n1 = n2 = n3 = n4 = 1:

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Für ein eindimensionales System mit einer Partikel in einem Quadrat gut, die Wellenfunktion ist

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Die Wellenfunktion für das Vier-Partikel-System ist nur das Produkt der einzelnen Wellenfunktionen, so dass es wie folgt aussieht:

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Zum Beispiel für den Grundzustand, n1 = n2 = n3 = n4 = 1, Sie haben

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So wie Sie sehen können, Systeme von N unabhängigen, unterscheidbare Teilchen sind oft anfällig für Lösung - alles, was Sie tun müssen, ist, sie in N unabhängige Gleichungen aufzubrechen.


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