Wann verwendet man statt Sische Koordinaten Kugelkoordinaten

In der Quantenphysik, müssen Sie manchmal Kugelkoordinaten anstelle von rechtwinkligen Koordinaten zu verwenden. Zum Beispiel, sagen Sie ein 3D-Box Potenzial haben, und nehmen wir an, dass das Potenzial gut, dass die Partikel in wie folgt aussieht gefangen ist, die für die Arbeit mit rechtwinkligen Koordinaten geeignet ist:

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Da kann man leicht, dieses Potenzial brechen in der x, y, und z Richtungen, können Sie die Wellenfunktion nach unten diese Weise brechen, auch, wie Sie hier sehen:

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Die Lösung für die Wellenfunktion gibt Ihnen die folgende normalisierte Ergebnis in kartesischen Koordinaten:

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Die Energieniveaus brechen auch aus allen drei rechteckigen Achsen in separate Beiträge nach unten:

E = Ex + Ey + Ez

Und für E Lösung gibt Ihnen diese Gleichung:

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Aber was, wenn das Potential gut ein Teilchen in Kugelsymmetrie ist gefangen hat, nicht rechteckig? Zum Beispiel, was waren, wenn das Potential gut so aussehen, wo r ist der Radius der Position des Teilchens in Bezug auf den Ursprung und wo ein ist eine Konstante,?

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Offensichtlich diese Art von Problem in eine zu stopfen versuchen rechteckigen Koordinaten Art von Lösung nur für Ärger fragt, denn obwohl Sie es tun können, ist es viel Sinus und Cosinus und führt zu einer ziemlich komplexen Lösung beinhaltet. Eine viel bessere Taktik ist diese Art eines Problems in dem natürlichen Koordinatensystem zu lösen, in dem das Potential ausgedrückt: Kugelkoordinaten.

Die folgende Abbildung zeigt die Koordinaten sphärischen System zusammen mit den entsprechenden rechtwinkligen Koordinaten, x, y, und z.

Die sphärische Koordinatensystem.

Die sphärische Koordinatensystem.

In dem sphärischen Koordinatensystem finden Sie Punkte mit einem Radiusvektor benannt r, die besteht aus drei Komponenten:

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